Question

【题目】设椭圆的离心率为，圆与轴正半轴交于点， 圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设圆上任意一点处的切线交椭圆于点、，求证：为定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)见证明

【解析】

(1)由离心率为得b=c,再根据圆在点处的切线被椭圆截得的弦长为得到点在椭圆上，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）先证明当过点与圆相切的切线斜率不存在时，再证明当过点与圆相线的切线斜率存在时，即得证.

(1)设椭圆的半焦距为由椭圆的离心率为，

由题知，

椭圆的方程为

易求得，点在椭圆上，

，解得，

椭圆的方程为.

(2)当过点与圆相切的切线斜率不存在时，不妨设切线的方程为，

由(1)知， ，，

，，

当过点与圆相线的切线斜率存在时，可设切线的方程为，，

，即

联立直线和椭圆的方程得，

，

得，

且，

综上所述，圆上任意一点、 处的切线交椭圆于点，都有，