Question

【题目】如图所示，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面是边长为2的正三角形，AA1＝3，点D，E，F，G分别是所在棱的中点．

（Ⅰ）证明：平面BEF∥平面DA1C1；

（Ⅱ）求三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积．

附：台体的体积，其中S和S′分别是上、下底面面积，h是台体的高．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）分别证明EF∥平面DA1C1和BE∥平面DA1C1，即可得证；

（Ⅱ）可看作三棱台DBG﹣A1B1C1减掉三棱锥B﹣B1EF剩余部分，分别计算，求差即可.

证明：（Ⅰ）∵E，F分别是A1 B1和B1C1的中点，∴EF∥A1C1，

∵EF平面DA1C1，A1C1平面DA1C1，

∴EF∥平面DA1C1，

∵D，E分别是AB和A1B1的中点，∴，

∴四边形BDA1E是平行四边形，∴BE∥A1D，

∵BE 平面DA1C1，A1D 平面DA1C1，

∴BE∥平面DA1C1，

∵BE∩EF＝E，∴平面BEF∥平面DA1C1．

（Ⅱ）由图可知，三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分，

可看作三棱台DBG﹣A1B1C1减掉三棱锥B﹣B1EF剩余部分，

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积．

，

∴三棱台DBG﹣A1B1C1的体积为：，

三棱锥B﹣B1EF体积，

∴三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积:．