Question

【题目】已知函数，，其中为自然对数的底数．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）用表示，中的较大者，记函数．若函数在内恰有2个零点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）单调递增区间为和，单调递减区间为．（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）当时，，求出切点坐标和切线斜率，通过直线的点斜式方程可求出切线方程。

（Ⅱ）对函数求导，由导函数的正负求单调性，同时注意对参数的讨论。

（Ⅲ）由题可知函数在内单调递减，当时，，则函数无零点。再对当，当的情况进行分类讨论，最后得到答案。

解：（Ⅰ）当时，，

∴．

∵，，

∴曲线在点处的切线方程为，

即切线方程为．

（Ⅱ）由已知得，

（1）当时，，

∴函数在内单调递增．

（2）当时，令，

解得或．

由，解得或，

由，解得．

∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．

（Ⅲ）∵函数的定义域为．

∴． ∴函数在内单调递减．

（1）当时，，

依题意，，则函数无零点．

（2）当时，，，

①若，即，则是函数的一个零点；

②若，即，则不是函数的零点；

（3）当时，，只需考虑函数在）内零点的情况．

∵，

①当时，，函数在内单调递增．

又，

（ⅰ）当时，，函数在内无零点；

（ⅱ）当时，，

又，

此时函数在内恰有一个零点；

②当时，由（Ⅱ）知，函数在内单调递减，在内单调递增．

∵，

，

∴此时函数在内恰有一个零点．

综上，实数的取值范围是．