【题目】已知函数,
,其中
为自然对数的底数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)用表示
,
中的较大者,记函数
.若函数
在
内恰有2个零点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)当时,
,求出切点坐标和切线斜率,通过直线的点斜式方程可求出切线方程。
(Ⅱ)对函数求导,由导函数的正负求单调性,同时注意对参数的讨论。
(Ⅲ)由题可知函数在
内单调递减,当
时,
,则函数
无零点。再对当
,当
的情况进行分类讨论,最后得到答案。
解:(Ⅰ)当时,
,
∴.
∵,
,
∴曲线在点
处的切线方程为
,
即切线方程为.
(Ⅱ)由已知得,
(1)当时,
,
∴函数在
内单调递增.
(2)当时,令
,
解得或
.
由,解得
或
,
由,解得
.
∴函数的单调递增区间为
和
,单调递减区间为
.
(Ⅲ)∵函数的定义域为
.
∴. ∴函数
在
内单调递减.
(1)当时,
,
依题意,,则函数
无零点.
(2)当时,
,
,
①若,即
,则
是函数
的一个零点;
②若,即
,则
不是函数
的零点;
(3)当时,
,只需考虑函数
在
)内零点的情况.
∵,
①当时,
,函数
在
内单调递增.
又,
(ⅰ)当时,
,函数
在
内无零点;
(ⅱ)当时,
,
又,
此时函数在
内恰有一个零点;
②当时,由(Ⅱ)知,函数
在
内单调递减,在
内单调递增.
∵,
,
∴此时函数在
内恰有一个零点.
综上,实数的取值范围是
.
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【题目】如图所示,在三棱锥中,
与
都是边长为2的等边三角形,
、
、
、
分别是棱
、
、
、
的中点.
(1)证明:四边形为矩形;
(2)若平面平面
,求点
到平面
的距离.
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【题目】如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且底面是边长为2的正三角形,AA1=3,点D,E,F,G分别是所在棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面BEF∥平面DA1C1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积.
附:台体的体积,其中S和S′分别是上、下底面面积,h是台体的高.
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【题目】空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取了15天的AQI数据,用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据,估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________.(该年为366天)
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【题目】求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程:
(1)椭圆的焦点在轴上,焦距为4,且经过点
;
(2)双曲线的焦点在轴上,右焦点为
,过
作重直于
轴的直线交双曲线于
,
两点,且
,离心率为
.
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【题目】一个工厂在某年连续10个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量x(万件)之间有如下一组数据:
x | 1.08 | 1.12 | 1.19 | 1.28 | 1.36 | 1.48 | 1.59 | 1.68 | 1.80 | 1.87 |
y | 2.25 | 2.37 | 2.40 | 2.55 | 2.64 | 2.75 | 2.92 | 3.03 | 3.14 | 3.26 |
(1)通过画散点图,发现可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明;
(2)①建立月总成本y与月产量x之间的回归方程;
②通过建立的y关于x的回归方程,估计某月产量为1.98万件时,此时产品的总成本为多少万元?
(均精确到0.001)
附注:①参考数据:,
,
②参考公式:相关系数,
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
.
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【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
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【题目】苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果,各产地的包装规格相同,它们的批发价格(元/箱)和市场份额如下:
产地 | |||||
批发价格 | |||||
市场份额 |
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
(1)从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,求该箱苹果价格低于元的概率;
(2)按市场份额进行分层抽样,随机抽取箱富士苹果进行检验,
①从产地共抽取
箱,求
的值;
②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验,求两箱产地不同的概率;
(3)由于受种植规模和苹果品质的影响,预计明年产地的市场份额将增加
,产地
的市场份额将减少
,其它产地的市场份额不变,苹果销售价格也不变(不考虑其它因素).设今年苹果的平均批发价为每箱
元,明年苹果的平均批发价为每箱
元,比较
的大小.(只需写出结论)
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【题目】设椭圆的左右焦点分别为
、
,椭圆的离心率为
,
为椭圆上任意一点,
的最大面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线
与椭圆交于
、
两点,连接
、
,若
的内切圆面积为
,则求直线
方程.
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