Question

【题目】如图所示，在三棱锥中，与都是边长为2的等边三角形，、、、分别是棱、、、的中点.

（1）证明：四边形为矩形；

（2）若平面平面，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）见证明；（2）

【解析】

（1）运用中位线定理，证得四边形为平行四边形，再取BD的中点O，连接，，运用等边三角形的性质和线面垂直的判定定理，即可得证；

（2）由题意可得平面. 点到平面的距离等于点到平面的距离.证明平面，求OM的长即可.

解：（1）如图，设的中点为，连接，，

∵、、、分别是棱、、、的中点.

∴，，且，

故，且，

∴四边形为平行四边形.

∵与都是等边三角形，

∴，，

又，∴平面，故，

又由上知，，∴，

∴四边形为矩形.

（2）如图，设交于，交于，连接，过作于.

∵，平面，平面，

∴平面.

∴点到平面的距离等于点到平面的距离，

∵在（1）的证明中有平面，平面，

∴，故由可得.

又∵，，

∴平面，

∴到平面的距离为.

∵平面平面，平面平面，，平面，

∴平面，

∴，于是.

又∵与都是边长为2的等边三角形，

∴，故，

∴在中，，

∴点到平面的距离为.