【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH中点,PA=AC=2,BC=1.
(Ⅰ)求证:AH⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N,使得MN∥平面ABC,若存在,请说明点N的位置,若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)(Ⅲ)点N是靠近B点的四等分点
【解析】
(Ⅰ)根据线面垂直判定与性质定理进行论证,(Ⅱ)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得平面AHB的一个法向量,根据向量数量积求向量夹角,最后根据向量夹角与线面角关系得结果,(Ⅲ)先设N坐标,再根据与平面ABC的法向量的数量积为零解得结果.
(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABC,
∴PA⊥BC,
又∵AC⊥BC,PA∩AC=A,
∴BC⊥平面PAC,
∵AH平面PAC,
∴BC⊥AH.
∵H为PC的中点,PA=AC,
∴AH⊥PC.
∵PC∩BC=C.
∴AH⊥平面PBC;
(Ⅱ)
由题意建立空间直角坐标系.A(0,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),
P(0,0,2),H(0,1,1),M.
=(0,1,1),
=(1,2,0),
=
.
设平面ABH的法向量为=(x,y,z),则
,取
=(2,-1,1).
设PM与平面AHB成角为,
则sin=
=
=
=
.
所以PM与平面AHB成角的正弦值为
(Ⅲ)假设在线段PB上存在点N,使得MN∥平面ABC.
设,
=(1,2,-2),
∴.
∴=
=
,
∵MN∥平面ABC,平面ABC的法向量为=(0,0,2),
∴=
-
=0,解得
.
∴点N是靠近B点的四等分点.
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【题目】如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且底面是边长为2的正三角形,AA1=3,点D,E,F,G分别是所在棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面BEF∥平面DA1C1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积.
附:台体的体积,其中S和S′分别是上、下底面面积,h是台体的高.
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【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
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【题目】苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果,各产地的包装规格相同,它们的批发价格(元/箱)和市场份额如下:
产地 | |||||
批发价格 | |||||
市场份额 |
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
(1)从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,求该箱苹果价格低于元的概率;
(2)按市场份额进行分层抽样,随机抽取箱富士苹果进行检验,
①从产地共抽取
箱,求
的值;
②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验,求两箱产地不同的概率;
(3)由于受种植规模和苹果品质的影响,预计明年产地的市场份额将增加
,产地
的市场份额将减少
,其它产地的市场份额不变,苹果销售价格也不变(不考虑其它因素).设今年苹果的平均批发价为每箱
元,明年苹果的平均批发价为每箱
元,比较
的大小.(只需写出结论)
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【题目】2019年4月20日,重庆市实施高考改革方案,2018年秋季入学的高中一年级的学生将实行“”模式.即“3”为全国统考科目语文、数学、外语所有学生必考;“1”为物理、历史科目中选择一科俗称“2选1”;“2”为再选学科,考生可在化学、生物、思想政治、地理4个科目中选择两科俗称“4选2”,选择学科完全相同即为相同“组合”.某校高一年级有三名同学甲,乙,丙根据自己喜欢的大学和专业情况均选择了物理,为了了解“4选2”选科情况老师找这三名同学来谈话情况如下:
甲说:我选了化学,但没有选思想政治;
乙说:我与甲有一科相同,但没有选化学和地理;
丙说:我与甲有相同的选科,与乙也有相同选科,但我们三个选的“组合”都不相同.则下列结论正确的是( )
A.甲选了化学和地理B.丙可能选化学和思想政治
C.甲一定选地理D.丙一定选了生物和地理
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【题目】设椭圆的左右焦点分别为
、
,椭圆的离心率为
,
为椭圆上任意一点,
的最大面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线
与椭圆交于
、
两点,连接
、
,若
的内切圆面积为
,则求直线
方程.
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【题目】如图,在以为顶点,母线长为
的圆锥中,底面圆
的直径
长为2,
是圆
所在平面内一点,且
是圆
的切线,连接
交圆
于点
,连接
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,连接
,
,当二面角
的大小为
时,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
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