【题目】如图,在以为顶点,母线长为
的圆锥中,底面圆
的直径
长为2,
是圆
所在平面内一点,且
是圆
的切线,连接
交圆
于点
,连接
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,连接
,
,当二面角
的大小为
时,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)由是圆
的直径,
与圆
切于点
,可得
,
由底面圆
,可得
,利用线面垂直的判定定理可知,
平面
,即可推出
.又在
中,
,可推出
,利用线面垂直的判定定理可证
平面
,从而利用面面垂直的判定定理可证出平面
平面
.
(2)由,
,可知
为二面角
的平面角,
即,建立空间直角坐标系,易知
,
求得点的坐标如下;,
,
,
,
,
由(1)知为平面
的一个法向量,
设平面的法向量为
,
,
,
通过,
,∴
,
,
可求出平面的一个法向量为
,
∴.
∴ 平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
解:(1)是圆
的直径,
与圆
切于点
,
底面圆
,∴
,
平面
,∴
.
又∵在中,
,∴
∵,∴
平面
,从而平面
平面
.
(2)∵ ,
,∴
为二面角
的平面角,
∴ ,
如图建立空间直角坐标系,易知,
则,
,
,
,
,
由(1)知为平面
的一个法向量,
设平面的法向量为
,
,
,
∵ ,
,∴
,
,
∴ ,即
故平面的一个法向量为
,
∴.
∴ 平面与平面
所成锐二面角的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,AC⊥BC,H为PC的中点,M为AH中点,PA=AC=2,BC=1.
(Ⅰ)求证:AH⊥平面PBC;
(Ⅱ)求PM与平面AHB成角的正弦值;
(Ⅲ)在线段PB上是否存在点N,使得MN∥平面ABC,若存在,请说明点N的位置,若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某大型工厂有台大型机器,在
个月中,
台机器至多出现
次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需
名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为
.已知
名工人每月只有维修
台机器的能力,每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修,就能使该厂获得
万元的利润,否则将亏损
万元.该工厂每月需支付给每名维修工人
万元的工资.
(1)若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修,则称工厂能正常运行.若该厂只有名维修工人,求工厂每月能正常运行的概率;
(2)已知该厂现有名维修工人.
(ⅰ)记该厂每月获利为万元,求
的分布列与数学期望;
(ⅱ)以工厂每月获利的数学期望为决策依据,试问该厂是否应再招聘名维修工人?
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列说法正确的个数是( )
①一组数据的标准差越大,则说明这组数据越集中;
②曲线与曲线
的焦距相等;
③在频率分布直方图中,估计的中位数左边和右边的直方图的面积相等;
④已知椭圆,过点
作直线,当直线斜率为
时,M刚好是直线被椭圆截得的弦AB的中点.
A.1B.2C.3D.4
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【题目】为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系,运用2×2列联表进行独立性检验,经计算K2=8.01,附表如下:
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
参照附表,得到的正确的结论是( )
A. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
B. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别有关”
D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下,认为“喜欢乡村音乐与性别无关”
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】[选修4-4:坐标系与参数方程]
在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),直线
的方程为
.
(1)以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线
的极坐标方程和直线
的极坐标方程;
(2)在(1)的条件下,直线的极坐标方程为
,设曲线
与直线
的交于点
和点
,曲线
与直线
的交于点
和点
,求
的面积.
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