【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,侧棱
底面
,
,点
为
的中点,作
,交
于点
.
(1)求证:平面
;
(2)求证:;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)见解析 (3)
【解析】
(1)连接交
于
,连接
,根据中位线定理证明
,即可证得
平面
.
(2)先证平面
.又∵
平面
,则
.
(3)建立空间直角坐标系,列出各点的坐标表示,求出平面的法向量为
,又因
平面
,所以
为平面
的一条法向量,利用余弦公式求解即可得出二面角
的余弦值.
解:(1)证明:连接交
于
,连接
.
因为,
分别为
,
的中点,所以
为
的中位线
∴,又
平面
,
平面
,∴
平面
(2)在中,
,点
为
的中点,
∴,则
平面
.
又∵平面
,则
.
(3)取中点
,连接
.
依题意可得为等边三角形,∴
,
又因为底面
,
,
平面
则,
建立以为坐标原点,如图所示坐标系,则有:
,
,
,
,
,
,
,
,设平面
的法向量为
,
则,∴
∵平面
,所以
为平面
的一条法向量,且
∴
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【题目】苹果是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的富士苹果,各产地的包装规格相同,它们的批发价格(元/箱)和市场份额如下:
产地 | |||||
批发价格 | |||||
市场份额 |
市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.
(1)从该地批发市场销售的富士苹果中随机抽取一箱,求该箱苹果价格低于元的概率;
(2)按市场份额进行分层抽样,随机抽取箱富士苹果进行检验,
①从产地共抽取
箱,求
的值;
②从这箱苹果中随机抽取两箱进行等级检验,求两箱产地不同的概率;
(3)由于受种植规模和苹果品质的影响,预计明年产地的市场份额将增加
,产地
的市场份额将减少
,其它产地的市场份额不变,苹果销售价格也不变(不考虑其它因素).设今年苹果的平均批发价为每箱
元,明年苹果的平均批发价为每箱
元,比较
的大小.(只需写出结论)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设椭圆的左右焦点分别为
、
,椭圆的离心率为
,
为椭圆上任意一点,
的最大面积为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过的直线
与椭圆交于
、
两点,连接
、
,若
的内切圆面积为
,则求直线
方程.
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【题目】给出下列五个命题:
①净三种个体按
的比例分层抽样调查,如果抽取的
个体为9个,则样本容易为30;②一组数据1、2、3、4、5的平均数、众数、中位数相同;③甲组数据的方差为5,乙组数据为5、6、9、10、5,那么这两组数据中较稳定的是甲;④已知具有线性相关关系的两个变量满足的回归直线方程为
.则
每增加1个单位,
平均减少2个单位;⑤统计的10个样本数据为125,120,122,105,130,114,116,95,120,134,则样本数据落在
内的频率为0.4其中真命题为( )
A. ①②④B. ②④⑤C. ②③④D. ③④⑤
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【题目】如图所示,直角梯形中,
,
,
,四边形
为矩形,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)在线段上是否存在点
,使得直线
与平面
所成角的正弦值为
,若存在,求出线段
的长,若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在以为顶点,母线长为
的圆锥中,底面圆
的直径
长为2,
是圆
所在平面内一点,且
是圆
的切线,连接
交圆
于点
,连接
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)若是
的中点,连接
,
,当二面角
的大小为
时,求平面
与平面
所成锐二面角的余弦值.
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【题目】某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买次维修,每次维修费用300元,另外实际维修一次还需向维修人员支付上门服务费80元.在机器使用期间,如果维修次数超过购买的
次时,则超出的维修次数,每次只需支付维修费用700元,无需支付上门服务费.需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得到下面统计表:
维修次数 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
频数 | 10 | 20 | 30 | 30 | 10 |
记表示1台机器在三年使用期内的维修次数,
表示1台机器维修所需的总费用(单位:元).
(1)若,求
与
的函数解析式;
(2)假设这100台机器在购机的同时每台都购买8次维修,或每台都购买9次维修,分别计算这100台机器在维修上所需总费用的平均数,并以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买8次还是9次维修?
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【题目】如图,为了测量某湿地两点间的距离,观察者找到在同一直线上的三点
.从
点测得
,从
点测得
,
,从
点测得
.若测得
,
(单位:百米),则
两点的距离为( )
A. B.
C.
D.
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