【题目】已知数列{an}的首项为1,若对任意的n∈N*,数列{an}满足an+1﹣3an<2,则称数列{an}具有性质L.
(Ⅰ)判断下面两个数列是否具有性质L:
①1,3,5,7,9,…;
②1,4,16,64,256,…;
(Ⅱ)若{an}是等差数列且具有性质L,其前n项和Sn满足Sn<2n2+2n(n∈N*),求数列{an}的公差d的取值范围;
(Ⅲ)若{an}是公比为正整数的等比数列且具有性质L,设bn=an(n∈N*),且数列{bn}不具有性质L,求数列{an}的通项公式.
【答案】(Ⅰ)1,3,5,7,9,…具有性质L,理由见解析;(Ⅱ)[0,4);(Ⅲ).
【解析】
(Ⅰ)根据题意利用an+1﹣3an<2,验证即可
(Ⅱ)利用等差数列的通项公式以及前项和公式,代入不等式即可求解.
(Ⅲ)利用等比数列的通项公式求出数列{an}的公比,{bn}不具有性质L,只需存在正整数m,使得bm+1﹣3bm≥2,,,进而可确定,利用等比数列的通项公式即可求解.
(Ⅰ)①1,3,5,7,9,…具有性质L.
理由如下:
对于数列1,3,5,7,9,…,其通项公式为an=2n﹣1,n∈N*,
an+1﹣3an=2n+1﹣3(2n﹣1)=4﹣4n<2,
∴1,3,5,7,9,…具有性质L.
②1,4,16,64,256,…不具有性质L.
理由如下:
对于数列1,4,16,64,256,…,
∵a3﹣3a2=16﹣3×4=4>2,
∴1,4,16,64,256,…不具有性质L.
(Ⅱ)∵等差数列{an}具有性质L,∴an+1﹣3an<2,
即1+nd﹣3[1+(n﹣1)d]<2对n∈N*均成立,
∴(3﹣2n)d<4对n∈N*均成立,当n=1时,d<4,
当n≥2时,d恒成立,
而0,(n≥2,n∈N*),∴d≥0,∴0≤d<4,
∵a1=1,得,
∴由题意n2n2+2n对n∈N*均成立,
∴当n=1时,d∈R,当n≥2时,d恒成立,
∵4,∴d≤4.
∵,(n≥2,n∈N*),∴d≥0.∴0≤d<4,
综上,0≤d<4.
∴数列{an}的公差d的取值范围是[0,4).
(Ⅲ)设数列{an}的公比为q,则qn﹣1,
∵公比为正整数的等比数列{an}具有性质L,
∴qn﹣3qn﹣1<2,∴(q﹣3)qn﹣1<2,∴q﹣3≤0,
若不然,q≥4,此时,(q﹣3)qn﹣1≥4n﹣1,不满足条件,
∵q是正整数,∴q=1,2,3,
∵{bn}不具有性质L,∴存在正整数m,使得bm+1﹣3bm≥2,
∴2,()2,
∴,∴,
∵q∈{1,2,3}.∴q=3,
当q=3时,,满足an+1﹣3an<2.
∴数列{an}的通项公式为.
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【题目】如图①,在等腰梯形中,分别为的中点 为中点,现将四边形沿折起,使平面平面,得到如图②所示的多面体,在图②中.
(1)证明:;
(2)求三棱锥的体积.
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【题目】已知椭圆的右顶点为,左焦点为,离心率,过点的直线与椭圆交于另一个点,且点在轴上的射影恰好为点,若.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过圆上任意一点作圆的切线与椭圆交于,两点,以为直径的圆是否过定点,如过定点,求出该定点;若不过定点,请说明理由.
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【题目】如图所示,三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面,且底面是边长为2的正三角形,AA1=3,点D,E,F,G分别是所在棱的中点.
(Ⅰ)证明:平面BEF∥平面DA1C1;
(Ⅱ)求三棱柱ABC﹣A1B1C1夹在平面BEF和平面DA1C1之间的部分的体积.
附:台体的体积,其中S和S′分别是上、下底面面积,h是台体的高.
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【题目】已知椭圆C:1(a>b>0),其右焦点为F(1,0),离心率为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点F作倾斜角为α的直线l,与椭圆C交于P,Q两点.
(ⅰ)当时,求△OPQ(O为坐标原点)的面积;
(ⅱ)随着α的变化,试猜想|PQ|的取值范围,并证明你的猜想.
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【题目】空气质量指数(Air Quality Index,简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数,空气质量按照AQI大小分为六级,0~50为优;51~100为良;101~150为轻度污染;151~200为中度污染;201~300为重度污染;大于300为严重污染.某环保人士从当地某年的AQI记录数据中,随机抽取了15天的AQI数据,用如图所示的茎叶图记录.根据该统计数据,估计此地该年空气质量为优或良的天数约为__________.(该年为366天)
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【题目】求满足下列条件的椭圆或双曲线的标准方程:
(1)椭圆的焦点在轴上,焦距为4,且经过点;
(2)双曲线的焦点在轴上,右焦点为,过作重直于轴的直线交双曲线于,两点,且,离心率为.
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【题目】某校学生会开展了一次关于“垃圾分类”问卷调查的实践活动,组织部分学生干部在几个大型小区随机抽取了共50名居民进行问卷调查.调查结束后,学生会对问卷结果进行了统计,并将其中一个问题“是否知道垃圾分类方法(知道或不知道)”的调查结果统计如下表:
年龄(岁) | ||||||
频数 | 14 | 12 | 8 | 6 | ||
知道的人数 | 3 | 4 | 8 | 7 | 3 | 2 |
(1)求上表中的的值,并补全右图所示的的频率直方图;
(2)在被调查的居民中,若从年龄在的居民中各随机选取1人参加垃圾分类知识讲座,求选中的两人中仅有一人不知道垃圾分类方法的概率.
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