Question

设函数f(x)=x(x-1)(x-a)(a＞1).

(1)求导数f′(x),并证明f(x)有两个不同的极值点x₁、x₂;

(2)若不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立,求a的取值范围.

Answer 1

解:(1)f′(x)=3x²-2(1+a)x+a.

    令f′(x)=0得方程3x²-2(1+a)x+a=0.

    因Δ=4(a²-a+1)≥4a＞0,

    故方程有两个不同实根x₁、x₂.

    不妨设x₁＜x₂,由f′(x)=3(x-x₁)(x-x₂)可判断f′(x)的符号如下:

    当x＜x₁时,f′(x)＞0;

    当x₁＜x＜x₂时,f′(x)＜0;

    当x＞x₂时,f′(x)＞0.

    因此x₁是极大值点,x₂是极小值点.

    (2)因f(x₁)+f(x₂)≤0,故得不等式

    x₁³+x₂³-(1+a)(x₁²+x₂²)+a(x₁+x₂)≤0,

    即(x₁+x₂)［(x₁+x₂)²-3x₁x₂］-(1+a)［(x₁+x₂)²-2x₁x₂］+a(x₁+x₂)≤0.

    又由(1)知.

    代入前面不等式,两边除以(1+a),

    并化简得2a²-5a+2≥0.

    解不等式得a≥2或a≤(舍去).

    因此,当a≥2时,不等式f(x₁)+f(x₂)≤0成立.