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(本题满分12分)

在直角坐标系中,动点到两圆的圆心的距离的和等于.

(Ⅰ) 求动点的轨迹方程;

(Ⅱ) 以动点的轨迹与轴正半轴的交点C为直角顶点作此轨迹的内接等腰直角三角形ABC,试问:这样的等腰直角三角形是否存在?若存在,有几个?若不存在,请说明理由.

 

【答案】

解:(Ⅰ)两圆的圆心坐标分别为,根据椭圆的定义可知,动点的轨迹为以为焦点,长轴长等于的椭圆.

,所以,动点的轨迹方程

(Ⅱ)由(Ⅰ)得C点的坐标为

不妨设A、B两点分居于y轴的左、右两侧,设CA的斜率为,

>0,CA所在直线的方程为.

代入椭圆方程并整理得.

.∴A点的坐标为.

.    同理,.

由|CA|=|CB|得,

解得

∴符合题意的等腰直角三角形一定存在,且有3个.

【解析】略

 

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