Question

13．已知$f（x）=\sqrt{2}sin（4x+\frac{π}{4}）$．
（1）f（x）的最大值和最小值．
（2）f（x）在R上的单调区间．
（3）f（x）在$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 由条件利用正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，得出结论．

解答 解：（1）对于函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（4x+$\frac{π}{4}$），
它的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-$\sqrt{2}$；
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$≤x≤$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$，
故函数的增区间为[得$\frac{kπ}{2}$-$\frac{3π}{16}$，$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{16}$]，k∈Z．
（3）在$[-\frac{π}{8}，\frac{π}{8}]$上，4x+$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，sin（4x+$\frac{π}{4}$）∈[-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴f（x）∈[-1，2]，故f（x）的最大值为$\sqrt{2}$，最小值为-1．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，正弦函数的单调性，属于基础题．