Question

已知等比数列{a_n}中a₁=64，公比q≠1，且a₂，a₃，a₄分别为某等差数列的第5项，第3项，第2项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=log₂a_n，求数列{|b_n|}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件知a₂-a₃=2（a₃-a₄）．即a₁q-a₁q²=2（a₁q²-a₁q³），从而可求q，进而可求通项公式
（Ⅱ）由（I）可得，b_n=log₂a_n=7-n．利用等差数列的求和公式可得，前n项和Sn=

n(13-n)

2

．
求数列{|b_n|}的前n项和T_n．需要判定b_n的正负，而当1≤n≤7时，b_n≥0，T_n=S_n
当n≥8时，b_n＜0，T_N=b₁+b₂+…b₇-b₈-b₉…-b_n=2S₇-S_n，代入可求

解答：解：（Ⅰ）由条件知a₂-a₃=2（a₃-a₄）．（2分）
即a₁q-a₁q²=2（a₁q²-a₁q³），又a₁•q≠0．
∴1-q=2（q-q²）=2q（1-q），又q≠1．∴q=

1

2

．（4分）
∴an=64•(

1

2

)n-1=(

1

2

)^n-7．（6分）
（Ⅱ）b_n=log₂a_n=7-n．{b_n}前n项和Sn=

n(13-n)

2

．
∴当1≤n≤7时，b_n≥0，∴Tn=Sn=

13n-n2

2

．（8分）
当n≥8时，b_n＜0，T_N=b₁+b₂+…b₇-b₈-b₉…-b_n
=2S7-Sn=42-

n(13-n)

2

=

n2-13n+84

2

．（11分）
∴Tn=

13n-n2 2 ，1≤n≤7且n∈N* n2-13n+84 2 ，n≥8且n∈N*(12分).

点评：本题主要考查了等比数列的通项公式的求解，等差数列的和公式的应用解题中要注意灵活利用基本公式．