Question

已知正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，过点B作B₁C的垂线交侧棱CC₁于点E，交线段B₁C于点F．以D为原点，DA、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，如图．
（Ⅰ）求证：A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）求A₁B与平面BDE所成角的正弦值的大小．

Answer 1

分析：（I）由已知中，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁底面边长AB=2，侧棱BB₁的长为4，我们易求出正四棱柱中各顶点的坐标，设E（0，2，t），根据BE⊥B₁C，我们易由它们的方向向量数量积为0，构造关于t的方程，求出t值，然后根据向量数量为0，向量垂直，对应的线段也垂直，可证得直线A₁C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A₁C⊥平面BED；
（Ⅱ）由（1）中结论，我们可得

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，再求出直线A₁B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A₁B与平面BDE所成角的正弦值的大小．

解答：解：（Ⅰ）D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A₁（2，0，4），B₁（2，2，4），
C₁（0，2，4），D₁（0，0，4）
设E（0，2，t），则

BE

=(-2，0，t)，

B1C

=(-2，0，-4)．
∵BE⊥B₁C，
∴

BE

•

B1C

=4+0-4t=0．
∴t=1．
∴E（0，2，1），

BE

=(-2，0，1)．
∵

A1C

=(-2，2，-4)，

DB

=(2，2，0)，
∴

A1C

•

BE

=4+0-4=0且

A1C

•

DB

=-4+4+0=0，
∴

A1C

⊥

BD

且

A1C

⊥

BE

，
∴

A1C

⊥平面BDE．                    
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

A1C

=(-2，2，-4)是平面BDE的一个法向量，
∵

A1B

=(0，2，-4)，
∴cos?

A1C

，

A1B

＞=

A1C • A1B

| A1C || A1B |

=

20

24 20

=

30

6

，
∴A₁B与平面BDE所成角的正弦值为

30

6

．

点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立空间坐标系，将空间线面的夹角及垂直、平行问题转化为向量夹角问题是解答此类问题的关键．