Question

数列{a_n}满足：?n∈N*，a₁+a₂+a₃+…+a_n=2ⁿ-1
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=1+log₂a_n，c_n=a_nb_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

解：（1）当n=1时，a₁=1
当n≥2时，a_n=（a₁+a₂+a₃+…+a_n）-（a₁+a₂+a₃+…+a_n-1）=（2ⁿ-1）-（2^n-1-1）=2^n-1
显然，n=1时，适合上式
所以数列{a_n}的通项公式a_n=2ⁿ
（2）∵b_n=1+log₂a_n=1+n-1=n
∴c_n=n•2^n-1
∴T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1①
2T_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ②
①-②得-T_n=1+2+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ=
∴T_n=（n-1）2ⁿ+1
分析：（1）先讨论n=1的情况，当n≥2时，利用前n项和与项的关系a_n=S_n-S_n-1求出通项．
（2）先求出b_n，再求出C_n，据c_n的特点：一个等差数列与一个等比数列的乘积构成的新数列，利用错位相减法求出数列的前n项和．
点评：求数列的前n项和，首先应该求出数列的通项，判断通项的特点，选择合适的求和方法．