Question

已知数列{a_n}中a1=

3

5

，an=2-

1

an-1

（n≥2，n∈N⁺），数列{b_n}，满足bn=

1

an-1

（n∈N⁺）
（1）求证数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}中的最大项与最小项，并说明理由；
（3）记S_n=b₁+b₂+…+b_n，求

lim n→∞

(n-1)bn

Sn+1

．

Answer 1

分析：（1）由题意可求得bn=

an-1

an-1-1

，从而有bn-1=

1

an-1-1

，利用等差数列的定义即可证数列{b_n}是等差数列；
（2）由（1）可求得b_n=n-3.5，从而求得an-1=

1

n-3.5

，构造函数y=

1

x-3.5

，利用导数研究其单调性，从而可求数列{a_n}中的最大项与最小项；
（3）由于数列{b_n}是等差数列，b_n=n-3.5，利用等差数列的求和公式可求得S_n+1，从而可得，

(n-1)bn

Sn+1

，

lim n→∞

(n-1)bn

Sn+1

可求．

解答：证明：（1）∵bn=

1

an-1

=

1

2- 1 an-1-1

=

an-1

an-1-1

，
而　bn-1=

1

an-1-1

，
∴bn-bn-1=

an-1

an-1-1

=

1

an-1-1

=1．（n∈N⁺）
∴{b_n}是首项为b1=

1

a1-1

=-

5

2

，公差为1的等差数列．
（2）依题意有an-1=

1

bn

，而bn=-

5

2

+(n-1)•1=n-3.5，
∴an-1=

1

n-3.5

．
对于函数y=

1

x-3.5

，在x＞3.5时，y＞0，y'＜0，在（3.5，+∞）上为减函数．
故当n=4时，an=1+

1

n-3.5

取最大值3
而函数y=

1

x-3.5

在x＜3.5时，y＜0，y′=-

1

(x-3.5)2

＜0，在（-∞，3.5）上也为减函数．
故当n=3时，取最小值，a₃=-1．
（3）Sn+1=

(n+1)(- 5 2 + 2n-5 2 )

2

=

(n+1)(n-5)

2

，b_n=n-3.5，
∴

lim

n→

∞

(n-1)bn

Sn+1

=

lim

n→

∞

2(n-1)(n-3.5)

(n+1)(n-5)

=2．

点评：本题考查数列的极限，重点考察等差数列的定义的应用，数列的函数性质，及求极限，属于综合性较强的难题．