Question

7．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为$\frac{4π}{3}$的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 求出球的半径，然后求解棱柱的底面边长与高，即可求解侧面积．

解答 解：球的体积为：$\frac{4π}{3}$，可得$\frac{4π}{3}{r}^{3}$=$\frac{4π}{3}$，r=1，
棱柱的高为：2，底面正三角形的内切圆的半径为：1，底面边长为：2$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为$\frac{4π}{3}$的球与该棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的侧面积是：6$\sqrt{3}$×2=12$\sqrt{3}$．

点评 本题考查几何体的体积与棱柱的侧面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．