Question

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+5，若x=

2

3

时，y=f(x)有极值，且曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再由x=

2

3

时，y=f（x）有极值，列一方程，曲线y=f（x）在点f（1）处的切线斜率为3，列一方程，联立两方程即可得a、b值
（2）先求函数f（x）=x³+ax²+bx+5的导函数，再解不等式得函数的单调区间，最后列表列出端点值f（-4），f（1）及极值，通过比较求出y=f（x）在[-4，1]上的最大值和最小值

解答：解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b．
由题意，得

f′( 2 3 )=3×( 2 3 )2+2a× 2 3 +b=0 f′(x)=3×12+2a×1+b=3.

解得

a=2 b=-4.

所以，f（x）=x³+2x²-4x+5．
（2）由（1）知f'（x）=x³+4x-4=（x+2）（3x-2）．
令f′(x)=0，得x1=-2，x2=

2

3

．

x	-4	（-4，-2）	-2	(-2， 2 3 )	2 3	( 2 3 ，1)	1
f（x）		+	0	-	0	+
f（x）			极大值		极小值
函数值	-11		13		95 27		4

∴f（x）在[-4，1]上的最大值为13，最小值为-11．

点评：本题考查了导数在函数极值和函数最值中的应用，解题时要耐心细致，规范解题步骤，避免出错．