Question

3．点P（x，y）是圆x²+（y-1）²=1上的动点，求$\frac{y-1}{x-2}$的取值范围．

Answer 1

分析 由题意画出圆的标准方程，结合$\frac{y-1}{x-2}$的几何意义数形结合求得$\frac{y-1}{x-2}$的取值范围．

解答 解：圆x²+（y-1）²=1的圆心坐标为（0，1），半径为1，
$\frac{y-1}{x-2}$的几何意义为圆上的动点与定点M（2，1）连线的斜率，
如图：

设过M（2，1）的圆的切线方程为y-1=k（x-2），即kx-y-2k+1=0．
由圆心（0，1）到切线的距离等于半径1，得$\frac{|-1-2k+1|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，解得：k=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴$\frac{y-1}{x-2}$的取值范围是[$-\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$]．

点评 本题考查圆的标准方程，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．