Question

14．已知关于x的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{\frac{4}{x+2}＞1\\;①}\\{{x}^{2}+（3-a）x-3a≥0\\;②}\end{array}\right.$
（1）求不等式①的解集；
（2）若不等式②的解集为R，求a的值；
（3）若不等式组的解集为∅，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）移项通分穿根可得不等式的解集为{x|-2＜x＜2}；
（2）由题意△≤0，解关于a的不等式可得a=-3；
（3）不等式②的解集为{x|x≤-3或x≥a}，由集合的运算可得a≥2．

解答 解：（1）不等式①可化为$\frac{4}{x+2}$-1＞0，
通分并整理可得$\frac{x-2}{x+2}$＜0，
等价于（x+2）（x-2）＜0，
可得不等式的解集为{x|-2＜x＜2}；
（2）∵不等式②的解集为R，
∴△=（3-a）²-4×1×（-3a）≤0，
整理可得（a+3）²≤0，
结合（a+3）²≥0可得（a+3）²=0，
解得a=-3；
（3）不等式②可化为（x+3）（x-a）≥0，
不等式的解集为{x|x≤-3或x≥a}或{x|x≤a或x≥-3}
要使不等式组的解集为∅，显然{x|x≤a或x≥-3}不成立，
要使{x|x≤-3或x≥a}与{x|-2＜x＜2}交集为∅，只需a≥2．

点评 本题考查含参数不等式组的解集问题，涉及恒成立和集合的运算，属中档题．