Question

19．（1）方程9^x-6•3^x-7=0的解为x=log₃7；
（2）不等式9^x-6•3^x-7≤0的解集为{x|x≤log₃7}；
（3）（$\frac{2}{3}$）^x•（$\frac{9}{8}$）^x=$\frac{64}{27}$的解为-3．

Answer 1

分析 （1）原方程可化为（3^x-7）（3^x+1）=0，解得3^x=7，取对数可得；
（2）原不等式可化为（3^x-7）（3^x+1）≤0，解得3^x≤7，取对数可得；
（3）原方程可化为（$\frac{3}{4}$）^x=（$\frac{3}{4}$）^-3，由指数函数的性质可得x=-3．

解答 解：（1）原方程可化为（3^x）²-6•3^x-7=0，
分解因式可得（3^x-7）（3^x+1）=0，
解得3^x=7或3^x=-1（舍去），
∴x=log₃7
（2）由（1）知原不等式可化为（3^x）²-6•3^x-7≤0，
即（3^x-7）（3^x+1）≤0，解得-1≤3^x≤7，
即x≤log₃7，故解集为{x|x≤log₃7}
（3）原方程可化为（$\frac{2}{3}$×$\frac{9}{8}$）^x=$\frac{64}{27}$，即（$\frac{3}{4}$）^x=$\frac{64}{27}$，
即（$\frac{3}{4}$）^x=（$\frac{3}{4}$）^-3，解得x=-3
故答案为：x=log₃7；{x|x≤log₃7}；-3

点评 本题考查含指数的不等式和方程，整体转化为二次方程和二次不等式是解决问题的关键，属中档题．