Question

3．k取什么范围的实数时，关于x的一元二次不等式kx²-2x+k＜0的解集为实数集R？k取什么实数时，这个不等式的解集是空集？

Answer 1

分析 根据题意，讨论k的取值范围，列出关于k的不等式，当$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$时，不等式kx²-2x+k＜0的解集为实数集R；
当$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$时，不等式kx²-2x+k＜0的解集是空集．

解答 解：根据题意，得；
k=0时，不等式化为-2x＜0，解得x＞0，不合题意；
k≠0时，应满足$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{△＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{4-{4k}^{2}＜0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＜0}\\{k＜-1或k＞1}\end{array}\right.$，
即k＜-1；
∴当k＜-1时，不等式kx²-2x+k＜0的解集为实数集R；
同理，$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{△≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{4-{4k}^{2}≤0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{k≤-1或k≥1}\end{array}\right.$，
即k≥1；
∴当k≥1时，不等式kx²-2x+k＜0的解集是空集．

点评 本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了不等式的恒成立问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．