Question

13．已知A={x|x＜-2或x≥3}，
（1）B={x|mx-1＞0}，当B⊆A时，求实数m的范围．
（2）B={x|2m-6≤x≤m+4}，当B∩∁_UA=∅，求实数m的范围．
（3）B={x|-m≤x≤m+4}，当A∩B=∅，求实数m的范围．

Answer 1

分析 （1）B={x|mx-1＞0}，根据条件B⊆A，讨论集合B是否是空集，即可求实数m的范围．
（2）B={x|2m-6≤x≤m+4}，当B∩∁_UA=∅，讨论集合B是否是空集，即可求实数m的范围．
（3）B={x|-m≤x≤m+4}，当A∩B=∅，讨论集合B是否是空集，即可求实数m的范围．

解答 解：（1）B={x|mx-1＞0}={x|mx＞1}，
若m=0，则B=∅，满足条件．B⊆A，
若m＞0，则B={x|x＞$\frac{1}{m}$}，若B⊆A，则$\frac{1}{m}$≥3，即0＜m≤$\frac{1}{3}$，
若m＜0，则B={x|x＜$\frac{1}{m}$}，若B⊆A，则$\frac{1}{m}$≤-2，即$-\frac{1}{2}$≤m＜0，
综上$-\frac{1}{2}$≤m≤$\frac{1}{3}$．
（2）∵A={x|x＜-2或x≥3}，
∴∁_UA={x|-2≤x＜3}，
∵B={x|2m-6≤x≤m+4}，
∴若B=∅，即2m-6＞m+4，解得m＞10时，满足条件B∩∁_UA=∅，
若B≠∅，即m≤10，
若B∩∁_UA=∅，
则2m-6≥3或m+4＜-2，
即m≥$\frac{9}{2}$或m＜-6，
∵m≤10，
∴$\frac{9}{2}$≤m≤10，或m＜-6．
（3）若-m＞m+4，即m＜-2时，B=∅，满足A∩B=∅，
若m≥-2时，B≠∅，
若满足A∩B=∅，
则$\left\{\begin{array}{l}{-m≥-2}\\{m+4＜3}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{m≤2}\\{m＜-1}\end{array}\right.$，解得m＜-1．
此时-2≤m＜-1，
综上m＜-1．

点评 本题主要考查集合的基本运算和集合关系的应用，注意要对集合B是否是空集进行讨论．