Question

13．已知曲线C的方程为x²+ay²=1（a∈R）．
（1）当a=-$\frac{1}{3}$时，是否存在以M（1，1）为中点的弦，若存在，求出弦所在直线的方程；若不得在，请说明理由；
（2）讨论曲线C所表示的轨迹形状；
（3）若a≠-1时，直线y=x-1与曲线C相交于两点M，N，且|MN|=$\sqrt{2}$，求曲线C的方程．

Answer 1

分析 （1）假设存在，设出直线与双曲线的两个交点，代入双曲线方程后利用点差法求斜率，从而得到假设不正确．
（2）对a讨论，即可得出曲线C所表示的轨迹形状；
（3）直线y=x-1与曲线C联立，利用弦长公式，求出a，即可求曲线C的方程．

解答 解：（1）当a=-$\frac{1}{3}$时，曲线C的方程为x²-$\frac{1}{3}$y²=1，
假设以M点为中点的弦AB存在，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
当过M点的直线的斜率不存在时，显然不满足题意．
当过M点的直线的斜率存在时，设斜率为k．
A，B代入，两式相减得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-$\frac{1}{3}$（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0．
所以过点Q的直线的斜率为k=3，
所以直线的方程为3x-y-2=0，与双曲线联立可得6x²-12x+7=0
△＜0，没有公共点．
所以所求的直线不存在；
（2）a＜0，表示双曲线；
a=0，x=±1，表示两条直线；
0＜a＜1，表示焦点在y轴上的椭圆；
a=1，表示以原点为圆心，1为半径的圆；
a＞1，表示焦点在x轴上的椭圆；
（3）直线y=x-1与曲线C联立，可得（1+a）x²-2ax+a-1=0，
∵|MN|=$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$•$\sqrt{（\frac{2a}{1+a}）^{2}-4•\frac{a-1}{1+a}}$=$\sqrt{2}$，
∴a=1或-3，
∴曲线C的方程为x²+y²=1或x²-3y²=1．

点评 本题是直线与圆锥曲线的综合问题，考查了判别式法判断直线与圆锥曲线的交点个数，训练了利用点差法求中点弦所在直线的斜率，属中档题．