Question

（2012•保定一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，ABCD是矩形，PA=AB=1，直线PD与底面ABCD所成的角等于30°，PF=FB，E∈BC，EF∥平面PAC．
（1）试求若

BE

EC

的值；
（2）求二面角P-DE-A的余弦值；
（3）求直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用EF∥平面PAC，可得EF∥PC，根据PF=FB，可知BE=EC；
（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面PDE的法向量、平面ADE的法向量，利用向量的夹角公式即可求得二面角P-DE-A的平面角；
（3）求出

PC

=(

3

，1，-1)，平面PDE的法向量为

n

=(

3

3

，

1

2

，1)，利用向量的夹角公式即可求得直线PC与平面PDE所成角的正弦值．

解答：解：（1）∵平面PBC∩平面PAC=PC，EF?平面PBC，EF∥平面PAC
∴EF∥PC
∵PF=FB，
∴BE=EC，即

BE

EC

=1
（2）以A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系
∵PA⊥平面ABCD，PA=AB=1
∴直线PD与底面ABCD所成的角为∠PDA=30°，
∴AD=

3

则P（0，0，1），B（0，1，0），C（

3

，1，0），E（

3

2

，1，0）
∴

DE

=( -

3

2

，1，0)，

PE

=(

3

2

，1，-1)
设平面PDE的法向量为

n

=(x，y，z)，∴

n

•

DE

=0，

n

•

PE

=0
∴

- 3 2 x+y=0 3 2 x+y+z=0

，∴取z=1，可得

n

=(

3

3

，

1

2

，1)
又平面ADE的法向量为

m

=(0，0，1)
设二面角P-DE-A的平面角为θ，则cosθ=

n • m

| n || m |

=

2 57

19

（3）∵C（

3

，1，0），∴

PC

=(

3

，1，-1)
设直线PC与平面PDE所成角为α
∵平面PDE的法向量为

n

=(

3

3

，

1

2

，1)
∴sinα=

n • PC

| n || PC |

=

285

95

∴直线PC与平面PDE所成角的正弦值为

285

95

点评：本题考查线面平行的性质，考查面面角，线面角，利用空间向量，熟练掌握线面平行的性质是关键．