Question

在△ABC中，a、b、c为角A、B、C所对的三边，已知a²-（b-c）²=bc．
（1）求角A；
（2）若BC=2

3

，内角B等于x，周长为y，求y=f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由 a²-（b-c）²=bc 利用余弦定理可得 cosA=

b2+ c2-a 2

2bc

=

1

2

，A=

π

3

．
（2）由正弦定理可得 AC=

BC

sin π 3

•six=4sinx，同理：AB=4sin（

2π

3

-x），从而有 y=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

．再根据 x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），求出y=f（x）的最大值．

解答：解：（1）在△ABC中，由 a²-（b-c）²=bc 可得 a²-b²-c²=-bc，∴cosA=

b2+ c2-a 2

2bc

=

1

2

，∴A=

π

3

．
（2）∵

AC

sinx

=

BC

sinA

，
∴AC=

BC

sin π 3

•six=4sinx．
同理：AB=

BC

sinA

 sinC=4sin（

2π

3

-x），
∴y=4sinx+4sin（

2π

3

-x）+2

3

=4

3

sin（x+

π

6

）+2

3

．
∵A=

π

3

，∴0＜B=x＜

2π

3

，∴x+

π

6

∈（

π

6

，

5π

6

），
故当x+

π

6

=

π

2

时，函数y有最大值为6

3

．

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．