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    已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
    		3
    ，0）
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．
    （1）设双曲线方程为
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    （a＞0，b＞0）．
    由已知得a=
    		3
    ，c=2，再由a2+b2=22，得b2=1    ．
    故双曲线C的方程为
    x2
    3
    -y2=1    ．
    （2）将y=kx+
    		2
    代入
    x2
    3
    -y2=1得    (1-3k2)x2-6
    		2
    kx-9=0    ．
    由直线l与双曲线交于不同的两点得
    1-3k2≠0
    △=(6
    		2
    k)2+36(1-3k2)=36(1-k2)＞0.

    即k2≠
    1
    3
    且k2＜1    ．①
    设A（xA，yA），B（xB，yB），
    则xA+xB=
    6
    		2
    k
    1-3k2
    ，xAxB=
    -9
    1-3k2
    ，由
    OA
    •
    OB
    ＞2得xAxB+yAyB＞2    ，
    而xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+
    		2
    )(kxB+
    		2
    )=(k2+1)xAxB+
    		2
    k(xA+xB)+2    =(k2+1)
    -9
    1-3k2
    +
    		2
    k
    6
    		2
    k
    1-3k2
    +2=
    3k2+7
    3k2-1
    ．
    于是
    3k2+7
    3k2-1
    ＞2，即
    -3k2+9
    3k2-1
    ＞0，解此不等式得
    1
    3
    ＜k2＜3    ．②
    由①、②得
    1
    3
    ＜k2＜1    ．
    故k的取值范围为(-1，-
    		3
    3
    )∪(
    		3
    3
    ，1)    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
    		2
    4
    ，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
    ①求证：直线MP经过一定点；
    ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
    3
    		2
    5
    为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		6
    3
    ，右焦点为（2
    		2
    ，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）求△PAB的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a    ，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
    （1）若点P的横坐标为
    a
    2
    ，证明：|
    F1P
    |=a+
    c
    2

    （2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线y=2x+1与椭圆
    x2
    4
    +
    y2
    16
    =1    的位置关系是（　　）
    A．相交B．相切C．相离D．不确定

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知F1，F2分别为椭圆C1：
    x2
    b2
    +
    y2
    a2
    =1（a＞b＞0）的上下焦点，其F1是抛物线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF2|=
    3
    5
    ．
    （1）试求椭圆C1的方程；
    （2）与圆x2+（y+1）2=1相切的直线l：y=k（x+t）（t≠0）交椭圆于A，B两点，若椭圆上一点P满足
    OA
    +
    OB
    =λ
    OP
    ，求实数λ的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		3
    2
    ，以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2+y2=r2（r＞0），设圆T与椭圆C交于点M与点N．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）求
    TM
    •
    TN
    的最小值，并求此时圆T的方程；
    （3）设点P是椭圆C上异于M，N的任意一点，且直线MP，NP分别与x轴交于点R，S，O为坐标原点，求证：|OR|•|OS|为定值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线方程y2=4x，过点P（1，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（　　）
    A．0条B．1条C．2条D．3条

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：填空题

    已知圆内接四边形中，则四边形的面积为           .

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