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    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a    ，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
    （1）若点P的横坐标为
    a
    2
    ，证明：|
    F1P
    |=a+
    c
    2

    （2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．
    （1）证明：椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左准线方程为x=-
    a2
    c

    ∵点P的横坐标为
    a
    2
    ，
    ∴由椭圆的定义可知，
    |
    F1P
    |
    |
    a
    2
    +
    a2
    c
    |
    =
    c
    a
    ，
    ∴|
    F1P
    |=a+
    c
    2
    ；
    （2）设Q（x，y），则
    ∵|
    F1Q
    |=2a    ，∴（x+c）2+y2=4a2
    ∴|y|≤2a
    ∵存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，
    ∴
    1
    2
    •2c•|y|=b2
    ∴|y|=
    b2
    c

    ∴
    b2
    c
    ≤2a
    ∴e2+2e-1≥0
    ∴e≥
    		2
    -1    或e≤-
    		2
    -1
    ∵0＜e＜1
    ∴
    		2
    -1≤e＜1    ．
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
    |CD|
    |ST|
    =2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
    OA
    +
    OB
    =t
    OP
    （O为坐标原点），当|
    PA
    -
    PB
    |＜
    2
    		5
    3
    时，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的渐近线方程为y=±
    		3
    x    ，O为坐标原点，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    ⊥
    OQ
    ，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，
    MA1
    =2
    A1F1
    ．
    （I）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若
    OC
    •
    OD
    =0    ，求直线l'的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    双曲线C与椭圆
    x2
    8
    +
    y2
    4
    =1    有相同的焦点，直线y=
    		3
    x    为C的一条渐近线．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当
    PQ
    =λ1
    QA
    =λ2
    QB
    ，且λ1+λ2=-
    8
    3
    时，求Q点的坐标．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    直线l过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，且交抛物线于A，B两点，交其准线于C点，已知|AF|=4，
    CB
    =3
    BF
    ，则p=（　　）
    A．2B．
    4
    3
    		C．
    8
    3
    		D．4

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为（
    		3
    ，0）
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l：y=kx+
    		2
    与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
    OA
    •
    OB
    ＞2（其中O为原点）．求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
    		7
    2
    ，
    PF1
    •
    PF2
    =
    3
    4
    （O为坐标原点）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且|
    F1M
    |=2|
    F1N
    |    ，求直线L的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆Γ的中心在坐标原点O，过右焦点F（1，0）且垂直于椭圆对称轴的弦MN的长为3．
    （1）求椭圆Γ的方程；
    （2）直线l经过点O交椭圆Γ于P、Q两点，NP=NQ，求直线l的方程．

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