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    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的渐近线方程为y=±
    		3
    x    ，O为坐标原点，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    ⊥
    OQ
    ，求|OP|2+|OQ|2的最小值．
    （1）双曲线C的渐近线方程为y=±
    		3
    x    ，
    ∴b2=3a2，
    ∵点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上，∴
    5
    a2
    -
    3
    b2
    =1    ，
    联立得
    b2=3a2
    5
    a2
    -
    3
    b2
    =1
    ，解得
    a2=4
    b2=12
    ，
    ∴双曲线C的方程为
    x2
    4
    -
    y2
    12
    =1    ．
    （2）设直线PQ的方程为y=kx+m，点P（x1，y1），Q（x2，y2），
    将直线PQ的方程代入双曲线C的方程，可化为（3-k2）x2-2kmx-m2-12=0
    ∴
    3-k2≠0
    △=(-2km)2-4(3-k2)(-m2-12)＞0
    （*）
    x1+x2=
    2km
    3-k2
    ，x1x2=
    -m2-12
    3-k2
    ，
    由
    OP
    •
    OQ
    =0⇒x1•x2+y1•y2=0    ，
    把y1=kx1+m，y2=kx2+m代入上式可得(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0，
    ∴(1+k2)
    -m2-12
    3-k2
    +km
    2km
    3-k2
    +m2=0    ，
    化简得m2=6k2+6．
    |OP|2+|OQ|2=|PQ|2=(1+k2)[(x1+
    x2
    )2-4x1x2]=24+
    384k2
    (k2-3)2
    ，
    当k=0时，|PQ|2=24+
    384k2
    (k2-3)2
    ≥24    成立，且满足（*）
    又∵当直线PQ垂直x轴时，|PQ|2＞24，
    ∴|OP|2+|OQ|2的最小值是24．
    练习册系列答案
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    相关习题

    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    设椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点（0，4），离心率为
    3
    5

    （1）求C的方程；
    （2）求过点（3，0）且斜率为
    4
    5
    的直线被C所截线段的长度．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为
    		2
    4
    ，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M．
    ①求证：直线MP经过一定点；
    ②试问：是否存在以（m，0）为圆心，
    3
    		2
    5
    为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    若椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
    （1）求椭圆的离心率；
    （2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且
    AC
    =2
    CB
    ，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知直线l1过A（0，1），与直线x=-2相交于点P（-2，y0），直线l2过B（0，-1）与x相交于Q（x0，0），x0、y0满足y0-
    x0
    2
    =1    ，l1∩l2=M．
    （Ⅰ）求直线l1的方程（方程中含有y0）；
    （Ⅱ）求点M的轨迹C的方程；
    （Ⅲ）过C左焦点F1的直线l与C相交于点A、B，F2为C的右焦点，求△ABF2面积最大时点F2到直线l的距离．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知两点F′（-2，0），F（2，0），点P为坐标平面内的动点，且满足|
    F′F
    ||
    FP
    |+
    F′F
    •
    F′P
    =0    ．
    （1）求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
    （2）过点F的直线l与轨迹C和⊙F：（x-2）2+y2=1交于四点，自下而上依次记这四点为A、B、C、D，求
    AB
    •
    CD
    的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆G：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的离心率为
    		6
    3
    ，右焦点为（2
    		2
    ，0），斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
    （Ⅰ）求椭圆G的方程；
    （Ⅱ）求△PAB的面积．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左右焦点为F1（-c，0），F2（c，0），点Q是椭圆外的动点，满足|
    F1Q
    |=2a    ，点P是线段F1Q与该椭圆的交点
    （1）若点P的横坐标为
    a
    2
    ，证明：|
    F1P
    |=a+
    c
    2

    （2）若存在点Q，使得△F1QF2的面积等于b2，求椭圆离心率的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知抛物线方程y2=4x，过点P（1，2）的直线与抛物线只有一个交点，这样的直线有（　　）
    A．0条B．1条C．2条D．3条

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