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    若椭圆
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被抛物线y2=2bx的焦点F内分成了3：1的两段．
    （1）求椭圆的离心率；
    （2）过点C（-1，0）的直线l交椭圆于不同两点A、B，且
    AC
    =2
    CB
    ，当△AOB的面积最大时，求直线l和椭圆的方程．
    （1）由题意知，c+
    b
    2
    =3（c-
    b
    2
    ），…（2分）
    ∴b=c，
    ∴a2=2b2，…（3分）
    ∴e=
    c
    a
    =
    		1-(
    b
    a
    )2
    =
    		2
    2
    ．…（5分）
    （2）设直线l：x=ky-x，A（x1，y1），B（x2，y2），
    ∵
    AC
    =2
    CB
    ，
    ∴（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2），即2y2+y1=0，①…（7分）
    由（1）知，a2=2b2，∴椭圆方程为x2+2y2=2b2，
    由
    x=ky-1
    x2+2y2=2b2
    ，消去x，得（k2+2）y2-2ky+1-2b2=0，
    ∴y1+y2=
    2k
    k2+2
    ，…②
    y1y2=
    1-2b2
    k2+2
    ，…③
    由①②知，y2=-
    2k
    k2+2
    ，y1=
    4k
    k2+2
    ，…（9分）
    ∵S△AOB=
    1
    2
    |y1|+
    1
    2
    |y2|    =
    1
    2
    |y1-y2|    ，
    ∴S=3•
    |k|
    k2+2
    =3•
    1
    2
    |k|
    +k
    ≤3•
    1
    2
    2
    |k|
    •|k|
    =
    3
    		2
    4
    ，…（11分）
    当且仅当|k|2=2，即k=±
    		2
    时取等号，
    此时直线的方程为x=
    		2
    y-1    或x=
    		2
    y-1    ．…（12分）
    又当|k|2=2时，y1y2=
    -2k
    k2+2
    •
    4k
    k2+2
    =-
    2k2
    (k2+2)2
    =-1，
    ∴由y1y2=
    1-2b2
    k2+2
    ，得b2=
    5
    2
    ，
    ∴椭圆方程为
    x2
    5
    +
    y2
    5
    2
    =1    ．…（14分）
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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）与直线x+y-1=0相交于A、B两点．
    （1）若椭圆的半焦距c=
    		3
    ，直线x=±a与y=±b围成的矩形ABCD的面积为8，求椭圆的方程；
    （2）若O（
    OA
    •
    OB
    =0    为坐标原点），求证：
    1
    a2
    +
    1
    b2
    =2    ；
    （3）在（2）的条件下，若椭圆的离心率e满足
    		3
    3
    ≤e≤
    		2
    2
    ，求椭圆长轴长的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，椭圆E：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点F2与抛物线y2=4x的焦点重合，过F2作与x轴垂直的直线l与椭圆交于S、T两点，与抛物线交于C、D两点，且
    |CD|
    |ST|
    =2
    		2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆E的方程；
    （Ⅱ）若过点M（2，0）的直线与椭圆E相交于两点A，B，设P为椭圆E上一点，且满足
    OA
    +
    OB
    =t
    OP
    （O为坐标原点），当|
    PA
    -
    PB
    |＜
    2
    		5
    3
    时，求实数t的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，线段MN的两个端点M、N分别在x轴、y轴上滑动，|MN|=5，点P是线段MN上一点，且
    MP
    =
    2
    3
    PN
    ，点P随线段MN的运动而变化．
    （1）求点P的轨迹C的方程；
    （2）过点（2，0）作直线l，与曲线C交于A、B两点，O是坐标原点，设
    OS
    =
    OA
    +
    OB
    ，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：单选题

    已知方程ax2+by2=ab和ax+by+c=0（其中ab≠0，a≠b，c＞0），它们所表示的曲线可能是（　　）
    A．B．C．D．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    过点(1，
    q
    2
    )    ，且离心率e=
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求椭圆方程；
    （Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点G(
    1
    8
    ，0)    ，求k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知双曲线C：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1(a＞0，b＞0)    的渐近线方程为y=±
    		3
    x    ，O为坐标原点，点M(
    		5
    ，
    		3
    )    在双曲线上．
    （1）求双曲线C的方程；
    （2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
    OP
    ⊥
    OQ
    ，求|OP|2+|OQ|2的最小值．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1、F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，
    MA1
    =2
    A1F1
    ．
    （I）求椭圆的标准方程；
    （Ⅱ）过点M的直线l'与椭圆交于C、D两点，若
    OC
    •
    OD
    =0    ，求直线l'的方程．

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    科目：高中数学 来源：不详 题型：解答题

    已知椭圆C：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1    （a＞b＞0）的离心率为
    		2
    2
    ，其左、右焦点分别为F1，F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=
    		7
    2
    ，
    PF1
    •
    PF2
    =
    3
    4
    （O为坐标原点）．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）若过F1的直线L与该椭圆相交于M、N两点，且|
    F1M
    |=2|
    F1N
    |    ，求直线L的方程．

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