Question

已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a-c=1．经过椭圆的左焦点F，斜率为k₁（k₁≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）当k₁=1时，求S_△AOB的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k₂，求证：为定值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题意，得，解得，由此能求出椭圆Γ的方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），故直线AB的方程为y=x+2，由，得14x²+36x-9=0．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，由此能求出S_△AOB．
（Ⅲ）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由直线AR的方程为y=（x-1），由，得y²+y-4=0．由此能为定值．
解答：解：（Ⅰ）由题意，得解得
∴b²=a²-c²=5，
故椭圆Γ的方程为+=1．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（-2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，
由消去y并整理，得14x²+36x-9=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
∴|AB|=|x₁-x₂|=•=．
设O点到直线AB的距离为d，则d==．
∴S_△AOB=|AB|•d=××=．…（8分）
（Ⅲ）设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由已知，直线AR的方程为y=（x-1），即x=y+1．
由消去x并整理，得y²+y-4=0．
则y₁y₃=-，∵y₁≠0，∴y₃=，
∴x₃=y₃+1=•+1=．
∴C（，）．同理D（，）．
∴k₂==
=．
∵y₁=k₁（x₁+2），y₂=k₁（x₂+2），
∴k₂===
∴=为定值．…（14分）
点评：本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．