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已知椭圆
x2
4
+
y2
b
=1(0<b<4)的右焦点为F,左右顶点分别为C、A,上顶点为B,过B,C,F作圆P.
(Ⅰ)当b=1时,求圆P的方程;
(Ⅱ)求证:直线AB与圆P不可能相切.
分析:(I)利用已知和椭圆的性质即可得出a,b,c.进而得到点B,C,F的坐标,设出圆的一般方程,利用待定系数法即可得出;
(II)利用反证法和圆的切线的性质即可证明.
解答:解:(I)当b=1时,椭圆方程为
x2
4
+y2=1

∴a2=4,得a=2.∴c=
a2-b2
=
3

∴A(2,0),B(0,1),C(-2,0),F(
3
,0)

设圆P的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0;
1+E+F=0
4-2D+F=0
3+
3
D+F=0
,解得
D=2-
3
E=2
3
-1
F=-2
3

∴圆P的方程为x2+y2+(2-
3
)x+(2
3
-1)y-2
3
=0

(II)用反证法证明:假设直线AB与圆P相切,则切点为B.设圆心P(
c-a
2
,d)

AB
=(-a,b)
PB
=(
a-c
2
,b-d)
.
PC
=(
-a-c
2
,-d)

AB
PB
=0
,又|
PB
|=|
PC
|

-a•
a-c
2
+b(b-d)=0
(
a-c
2
)2+(b-d)2
=
(
-a-c
2
)2+d2

消去d可得c2-4c=0.
解得c=0或4.
c=
4-b
,0<b<4.
∴0<c<4.
故假设不成立.
即直线AB与圆P不可能相切.
点评:熟练掌握椭圆的性质、圆的切线性质及其一般方程、待定系数法、反证法等是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知椭圆
x24
+y2=1
的左、右两个顶点分别为A,B,直线x=t(-2<t<2)与椭圆相交于M,N两点,经过三点A,M,N的圆与经过三点B,M,N的圆分别记为圆C1与圆C2
(1)求证:无论t如何变化,圆C1与圆C2的圆心距是定值;
(2)当t变化时,求圆C1与圆C2的面积的和S的最小值.

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已知椭圆
x2
4
+y2=1
,过E(1,0)作两条直线AB与CD分别交椭圆于A,B,C,D四点,已知kABkCD=-
1
4

(1)若AB的中点为M,CD的中点为N,求证:①kOMkON=-
1
4
为定值,并求出该定值;②直线MN过定点,并求出该定点;
(2)求四边形ACBD的最大值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

如图,已知椭圆
x2
4
+y2=1
,弦AB所在直线方程为:x+2y-2=0,现随机向椭圆内丢一粒豆子,则豆子落在图中阴影范围内的概率为
π-2
π-2

(椭圆的面积公式S=π•a•b,其中a是椭圆长半轴长,b是椭圆短半轴长)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•朝阳区三模)已知椭圆
x2
4
+y2=1
的焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点,且∠F1PF2=90°,则点P的纵坐标可以是(  )

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知椭圆
x24
+y2=1
,过点M(-1,0)作直线l交椭圆于A,B两点,O是坐标原点.
(1)求AB中点P的轨迹方程;
(2)求△OAB面积的最大值,并求此时直线l的方程.

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