Question

【题目】已知函数f(x)＝xex－x－ax2.

(1)当a＝时，求f(x)的单调区间；

(2)当x≥0时，f(x)≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减；

（2）(－∞，1]．

【解析】

(1)当a＝时，函数f(x)＝x(ex－1)－x2，求得函数的导数，分类讨论，即可求得函数的单调区间；

(2)由函数f(x)＝x(ex－1－ax)，令g(x)＝ex－1－ax，利用导数求得函数的单调性，得出函数的取值范围，即可求解．

(1)当a＝时，函数f(x)＝x(ex－1)－x2，

则f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)，

令f′(x)＝0，则x＝－1或0，

当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；

当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.

故f(x)在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增，在(－1,0)上单调递减．

(2)由题意，函数f(x)＝x(ex－1－ax)，

令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a，

若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)为增函数，

而g(0)＝0，从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0，

若a>1，则当x∈(0，ln a)时，g′(x)<0，g(x)为减函数，而g(0)＝0，

从而当x∈(0，ln a)时，g(x)<0，即f(x)<0，不符合题意，

综上，实数a的取值范围为(－∞，1]．