Question

（2013•保定一模）选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交⊙O于N，过N点的切线交CA的延长线于P．
（1）求证：PM²=PA•PC；
（2）⊙O的半径为2

3

，OM=2，求MN的长．

Answer 1

分析：（1）连接ON，则ON⊥PN，由半径相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，进而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割线定理即可证明；
（2））在Rt△BMO中，由勾股定理可得BM=4，再利用△BND∽BOM，可得BN即可．

解答：（1）证明：连接ON，则ON⊥PN，∵OB=ON，∴∠OBM=∠ONB，
∵PN是⊙O的切线，∴ON⊥NP．
∵BO⊥AC，
∴∠BOM=∠ONP=90°，∴∠OMB=∠MNP．
又∠BMO=∠PMO，∴∠PNM=∠PMN，∴PM═PN．
∵PN为⊙O的切线，∴PN²=PA•PC，∴PM²=PA•PC．
（2）在Rt△BMO中，BM=

OB2+OM2

=

(2 3 )2+22

=4．
延长BO交⊙O与点D，连接DN，
则△BND∽BOM，于是

BO

BN

=

BM

BD

，
∴

2 3

BN

=

4

4 3

，得BN=6．
∴MN=BN-BM=6-4=2．

点评：本题综合考查了圆的切线的性质、切割线定理、三角形相似等基础知识，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．