Question

已知F₁、F₂是双曲线 （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F₁F₂为边作正三角形MF₁F₂，若边MF₁的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （     ）                                                                                                         

A．4+

B．+1

C．—1

D．

Answer 1

B

分析：先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得其中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得e．
解：依题意可知双曲线的焦点为F₁（-c，0），F₂（c，0）
∴F₁F₂=2c
∴三角形高是c
M（0，c）
所以中点N（-，c）
代入双曲线方程得：-=1
整理得：b²c²-3a²c²=4a²b²
∵b²=c²-a²
所以c⁴-a²c²-3a²c²=4a²c²-4a⁴
整理得e⁴-8e²+4=0
求得e²=4±2
∵e＞1，
∴e=+1
故选B