Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且tanA+tanB=

2sinC

cosA

．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）已知

a

c

+

c

a

=3，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）切化弦，可整理为tanA+tanB=

sinC

cosAcosB

，结合已知tanA+tanB=

2sinC

cosA

，可求得cosB=

1

2

，在△ABC中，可求得B的值；
（Ⅱ）由

a

c

+

c

a

=3，易求

b2

ac

=2，利用正弦定理可得

b2

ac

=

sin2B

sinAsinC

=

3

4sinAsinC

=2，从而可求得

1

tanA

+

1

tanC

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵tanA+tanB=

sinA

cosA

+

sinB

cosB

=

sinAcosB+cosAsinB

cosAcosB

=

sin(A+B)

cosAcosB

=

sinC

cosAcosB

，…（3分）
∵tanA+tanB=

2sinC

cosA

，
∴

sinC

cosAcosB

=

2sinC

cosA

，
∴cosB=

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

π

3

．…（6分）
（Ⅱ）∵

a

c

+

c

a

=

a2+c2

ac

=

b2+2accosB

ac

=

b2+2ac× 1 2

ac

=3，
∴

b2

ac

=2，…（9分）
而

b2

ac

=

sin2B

sinAsinC

=

sin2 π 3

sinAsinC

=

3

4sinAsinC

，
∴sinAsinC=

3

8

．…（12分）
∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

3

2sinAsinC

=

4 3

3

．…（14分）

点评：本题考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题．