Question

已知四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，且PA=4PQ=4，底面为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=，M，N分别是PD，PB的中点，
（1）求证：MQ∥平面PCB；
（2）求截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小；
（3）求点A到平面MCN的距离。

Answer 1

解：以A为原点，以AD，AB，AP分别为x，y，z建立空间直角坐标系O-xyz， 由，PA=4PQ=4，M，N分别是PD，PB的中点， 可得：， ， ∴，， 设平面的PBC的法向量为， 则有：， 令z=1，则， ∴， 又平面PCB， ∴MQ∥平面PCB。 （2）设平面的MCN的法向量为， 又， 则有：， 令z=1，则， 又为平面ABCD的法向量， ∴， 又截面MCN与底面ABCD所成二面角为锐二面角， ∴截面MCN与底面ABCD所成二面角的大小为。 （3）∵， ∴所求的距离。