Question

6．设0＜α＜$\frac{π}{2}$，求证：1＜sinα+cosα≤$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由三角函数公式化简已知函数，由三角函数区间的值域可得．

解答 解：化简可得sinα+cosα=$\sqrt{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}$sinα+$\frac{\sqrt{2}}{2}$cosα）
=$\sqrt{2}$（sinαcos$\frac{π}{4}$+cosαsin$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）
∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]，
∴$\sqrt{2}$sin（α+$\frac{π}{4}$）∈（1，$\sqrt{2}$]，
即1＜sinα+cosα≤$\sqrt{2}$．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数的值域，属基础题．