Question

1．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x³，若对任意的x∈[a，a+2]，f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，则实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 利用函数奇偶性和单调性之间的关系，解不等式即可．

解答 解：∵当x≥0时，f（x）=x³，
∴此时函数f（x）单调递增，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴函数f（x）在R上单调递增，
若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（$\sqrt{2}$x）恒成立，
则x+a≥$\sqrt{2}$x恒成立，
即a≥（$\sqrt{2}$-1）x恒成立，
∵x∈[a，a+2]，
∴[（$\sqrt{2}$-1）x]_max=（$\sqrt{2}$-1）（a+2），
即a≥（$\sqrt{2}$-1）（a+2），
解得a≥$\sqrt{2}$，
即实数a的取值范围是[$\sqrt{2}$，+∞）．
故答案为：[$\sqrt{2}$，+∞）．

点评 本题考查函数单调性的应用：利用单调性处理不等式恒成立问题．将不等式化为f（a）≥f（b）形式是解题的关键．