Question

1．在四棱锥P-ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，对角线AC与BD交于点O，且PA⊥平面ABCD．
（1）求证：PC⊥BD．
（2）过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E-BCD的体积取到最大值时，求直线ED与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连接AC，由正方形性质得BD⊥AC，由线面垂直得PA⊥BD，由此能证明PC⊥BD．
（2）设PA=x，由已知推导出x=$\sqrt{2}$时，三棱锥E-BCD的体积取到最大值，此时四棱锥E-ABCD的高为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，以点A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线ED与平面PAB所成角的正弦值．

解答 （1）证明：连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD．
又AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC．
又PC?平面PAC，∴PC⊥BD．
（2）解：设PA=x，三棱锥E-BCD的底面积为定值，
在△PBC中，由已知得PB=$\sqrt{{x}^{2}+1}$，PC=$\sqrt{{x}^{2}+2}$，
又BC=1，故△PBC直角三角形．
又BE⊥PC，得EC=$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$，解得该三棱锥的高h=$\frac{x}{{x}^{2}+2}$=$\frac{1}{x+\frac{2}{x}}$．
当且仅当x=$\frac{2}{x}$，即x=$\sqrt{2}$时，三棱锥E-BCD的体积取到最大值，∴h=$\frac{\sqrt{2}}{4}$．
此时四棱锥E-ABCD的高为$\frac{\sqrt{2}}{4}$，PA=$\sqrt{2}$．
以点A为原点，AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，$\sqrt{2}$），由已知得CE=$\frac{1}{4}$CP．
∴$\overrightarrow{AE}$=$\overrightarrow{AC}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{CP}$=（$\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），∴E=（$\frac{3}{4}，\frac{3}{4}，\frac{\sqrt{2}}{4}$），$\overrightarrow{ED}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$，-$\frac{\sqrt{2}}{4}$）．
又平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），
设直线ED与平面PAB所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{ED}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{ED}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{ED}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{\frac{1}{4}}{\sqrt{\frac{9}{16}+\frac{1}{16}+\frac{2}{16}}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直线ED与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养，注意向量法的合理运用．