Question

【题目】现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为_________；若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为_________.

Answer 1

【答案】3

【解析】

先求出原来的体积和，再求出新的体积和，列出方程，即可解出新的底面半径，设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，利用相似比用表示出，从而把正三棱柱的表面积表示成的二次函数，利用二次函数的性质即可求出三棱柱的表面积取到最大值时的值．

解：由题意可知，

底面半径为5，高为9的圆锥和底面半径为，高为8的圆柱的总体积为，

设新的圆锥和圆柱的底面半径为，

则：，解得：，

设新圆锥的内接正三棱柱的底面边长为，高为，底面正三角形的外接圆的半径为，

，，

又，

，

正三棱柱的表面积，

当时，三棱柱的表面积取到最大值，

故答案为：3，．