【题目】已知函数(
)
(1)若是
的极值,求
的值,并求
的单调区间。
(2)若时,
,求实数
的取值范围。
【答案】(1),
的单调减区间为
,单调增区间为
.(2)
【解析】
(1)计算的导函数,结合极值,计算a,结合导函数与原函数单调关系,计算单调区间,即可。(2)法一:计算导函数,构造函数
,结合导函数,得到
的单调区间,计算范围,即可。法二 :构造函数
,结合导函数,得到原函数单调性,计算
,得到a的范围,即可。
(1)的定义域是
,
,
由是
的极值得
,得
.
时,由
,得
,
列表(列表的功能有两个:一是检验的正确性;二是求单调区间)得
负 | 0 | 正 | |
单调递减 | 极小值 | 单调递增 |
综上,,
的单调减区间为
,单调增区间为
.
(2)法一:因,
.
记,
则,且
,当
,
即时,
,
在
单调递增,
故时,
,则
,
则在
单调递增,
,符合。
当,即
时,则存在
,使得
时,
,
此时,,
在
单调递减,
时,
,不符。
综上,实数的取值范围是
.
法二:时,
,
等价于
,
记,
则,
记,
则,
故,
在
单调递减,
由洛必达法则得,
故,综上,实数
的取值范围是
.
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【题目】某年级组织学生参加了某项学术能力测试,为了解参加测试学生的成绩情况,从中随机抽取20名学生的测试成绩作为样本,规定成绩大于或等于80分的为优秀,否则为不优秀.统计结果如图:
(1)求的值和样本的平均数;
(2)从该样本成绩优秀的学生中任选两名,求这两名学生的成绩至少有一个落在内的概率.
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【题目】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为_________.
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【题目】某班50位学生周考数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:、
、
、
、
、
.
(1)求图中的矩形高的值,并估计这50人周考数学的平均成绩;
(2)根据直方图求出这50人成绩的众数和中位数(精确到0.1);
(3)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩不低于90分的人数记为,求
的分布列和数学期望.
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【题目】两名老师和五名学生站一排拍照.
(1)五名学生必须排在一起共有多少种排法?
(2)两名老师不能相邻共有多少种排法?
(3)两名老师不能排在两边共有多少种排法?
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【题目】在直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的普通方程,曲线
的参数方程;
(2)若分别为曲线
,
上的动点,求
的最小值,并求
取得最小值时,
点的直角坐标.
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【题目】如图是放置在桌面的某三棱柱的三视图,其中网格小正方形边长为1.若三棱柱表面上的、
两点在三视图中的对应点为
、
,现一只蚂蚁要沿该三棱柱的表面(不包括下底面)从
爬到
,则所有路径里最短路径的长度为( )
A. B.
C.
D.
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