Question

设函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）．
（1）作出函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0）的图象；
（2）当0＜a＜b，且f（a）=f（b）时，求

1

a

+

1

b

的值；
（3）若方程f（x）=m有两个不相等的正根，求m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）将函数写成分段函数，先作出函数f（x）=1-

1

x

（x＞0），再将x轴下方部分翻折到x轴上方即可得到函数的图象；
（2）根据函数的图象，可知f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，利用0＜a＜b且f（a）=f（b），即可求得

1

a

+

1

b

的值；
（3）构造函数y₁=f（x），y₂═m，由函数f（x）的图象可得结论．

解答：解：（1）函数f（x）=|1-

1

x

|=

1 x -1，x∈(0，1] 1- 1 x ，x∈(1，+∞)

．
先作出函数f（x）=1-

1

x

（x＞0），再将x轴下方部分翻折到x轴上方即可得到函数的图象．如图所示
（2）根据函数的图象，可知f（x）在（0，1]上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，
由0＜a＜b且f（a）=f（b）得0＜a＜1＜b，∴

1

a

-1=1-

1

b

，∴

1

a

+

1

b

=2
（3）构造函数y₁=f（x），y₂═m，由函数f（x）的图象可知，当0＜m＜1时，方程f（x）=m有两个不相等的正根．

点评：本题考查绝对值函数，考查数形结合的数学思想，考查学生的作图能力，正确作图是关键．