Question

（2013•浙江模拟）设F₁，F₂是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C交于A，B两点．若AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，则椭圆的离心率为

5

3

．

Answer 1

分析：由AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，利用椭圆的定义可求得|AF₁|=2，从而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．

解答：解：∵F₁，F₂是椭圆C

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F₁的直线l与C交于A，B两点，AB⊥AF₂，|AB|：|AF₂|=3：4，如图：
∴不妨令|AB|=3，|AF₂|=4，再令|AF₁|=x，由椭圆的定义得：|AF₁|+|AF₂|=2a，①|BF₁|+|BF₂|=2a②
①+②得：x+4+3-x+5=4a，
∴a=3，x=2．
在Rt△F₁F₂A中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2，
∴4c²=4+16=20，
∴c=

5

．
∴椭圆的离心率为e=

5

3

．
故答案为：

5

3

．

点评：本题考查椭圆的简单性质，突出考查椭圆的定义的应用，求得a与c的值是关键，考查转化与运算的能力，属于中档题．