Question

16．如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）+c（A＞0，ω＞0，φ＞0）图象的一部分．
（Ⅰ）求此函数的周期及最大值和最小值；
（Ⅱ）求此函数的单调递增区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由函数的最值求出A和c的值，由周期求出ω，可得函数的解析式，进而求得此函数的周期及最大值和最小值．
（Ⅱ）把点（4，1）代入上式求得φ的值，再利用正弦函数的单调性求得f（x）的单调递增区间．

解答 解：（Ⅰ）结合图象及解析表达式可知，c=1，A=4-1=3．
再根据$\frac{3}{4}$•$\frac{2π}{ω}$=12-4，求得ω=$\frac{3π}{16}$，故函数f（x）=3sin（$\frac{3π}{16}$x+φ）+1．
故函数f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{\frac{3π}{16}}$=$\frac{32}{3}$，最大值为 3+1=4，最小值为-3+1=-2．
（Ⅱ）把点（4，1）代入上式，可得 sin（$\frac{3π}{4}$+φ）=0，再根据φ＞0，故可取φ=$\frac{π}{4}$，
故函数的解析式为：f（x）=3sin（$\frac{3π}{16}$x+$\frac{π}{4}$）+1．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤$\frac{3π}{16}$x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得-4+$\frac{32}{3}$k≤x≤$\frac{4}{3}$+$\frac{32}{3}$k，
即函数f（x）的单调递增区间为：[-4+$\frac{32}{3}$k，$\frac{4}{3}$+$\frac{32}{3}$k]，k∈z．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，正弦函数的周期性、最值、以及单调性，属于中档题．