Question

5．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}$x-1
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ） 当$x∈[0，\frac{π}{2}]$时，求函数f（x）的最值；
（Ⅲ）当x∈[0，π]时，求f（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用化简可得函数解析式为：$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$，利用周期公式即可得解．
（Ⅱ） 由$x∈[0，\frac{π}{2}]$，可求$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$，利用正弦函数的图象和性质即可求得最值．
（Ⅲ）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈z$得到$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈z$，又x∈[0，π]，即可求得f（x）的单调递减区间．

解答 本小题满分（10分）．
解：（Ⅰ）$f（x）=2\sqrt{3}sinxcosx+2{cos^2}x-1=\sqrt{3}sin2x+cos2x$---------------------（2分）
即$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）$-------------------------------------（3分）
所以T=π-------------------------------------（4分）
（Ⅱ） 因为$x∈[0，\frac{π}{2}]$，所以$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}]$-------------------------------------（5分）
所以函数f（x）的最大值为2，-------------------------------------（6分）
最小值为-1-------------------------------------（7分）
（Ⅲ）由于$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈z$---------------------（8分）
得到$\frac{π}{3}+2kπ≤2x≤\frac{4π}{3}+2kπ，k∈z$，即$\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{2π}{3}+kπ，k∈z$---------------（9分）
又因为x∈[0，π]，所以f（x）的单调递减区间为$[{\frac{π}{6}，\frac{2π}{3}}]$---------------------（10分）

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，复合三角函数的单调性，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．