Question

17．设不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤6}\\{0≤x≤6}\end{array}\right.$表示的区域为A，不等式组$\left\{\begin{array}{l}{0≤x≤6}\\{x+y≥4}\end{array}\right.$表示的区域为B．
（1）在区域A中任取一点（x，y），求点（x，y）∈B的概率．
（2）若x，y分别表示甲、乙两人各掷一次骰子所得点数，求点（x，y）在区域B中的概率．

Answer 1

分析 解法一：
（1）本小题是几何概型问题，欲求点（x，y）∈C的概率，只须求出区域C的面积，再将求得的面积值与整个区域的面积求比值即得．
（2）本小题是古典概型问题，欲求点（x，y）在区域B中的概率，只须求出满足：使在区域B中的点（x，y）有多少个，再将求得的值与抽取的全部结果的个数36求比值即得．
解法二：
（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，求出其对立事件的概率，再由对立事件概率减法公式可得答案；
（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，求出其对立事件的概率，再由对立事件概率减法公式可得答案．

解答 解法一：
（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，
区域A的面积为S₁=36，
区域B的面积为S₂=36-8=28，
∴P（M）=$\frac{S2}{S1}$=$\frac{28}{36}$=$\frac{7}{9}$．…（6分）
（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，
甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，
其中在集合B中的点有33个，…（10分）
故P（N）=$\frac{33}{36}$=$\frac{11}{12}$．…（12分）
解法二：（1）设集合A中的点（x，y）∈B为事件M，
其对立事件$\overline{M}$为集合A中的点（x，y）∉B，
∴P（M）=1-P（$\overline{M}$）=1-$\frac{8}{36}$=$\frac{7}{9}$．…（6分）
（2）设点（x，y）在集合B中为事件N，
其对立事件$\overline{N}$为点（x，y）不在集合B中．
甲、乙两人各掷一次骰子所得的点数为36，其中不在集合B中的点有3个，…（10分）
故P（N）=1-P（$\overline{N}$）=1-$\frac{3}{36}$=$\frac{11}{12}$．…（12分）
答：（1）在区域A中任取一点（x，y），点（x，y）∈B的概率为$\frac{7}{9}$；
（2）点（x，y）在区域B中的概率为$\frac{11}{12}$．…（14分）

点评 本小题主要考查古典概型、几何概型等基础知识．古典概型与几何概型的主要区别在于：几何概型是另一类等可能概型，它与古典概型的区别在于试验的结果不是有限个，几何概型的特点有下面两个：（1）试验中所有可能出现的基本事件有无限多个．（2）每个基本事件出现的可能性相等．