Question

（本小题满分12分）
已知点是圆上任意一点，点与点关于原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）斜率为1的直线与曲线交于两点,若（为坐标原点），求直线的方程．

Answer 1

（1）；（2）

本试题主要是考查了直线与圆的位置关系的运用，以及点的对称问题，和中垂线性质的运用，以及直线与二次曲线的交点问题的综合运用。
（1）因为点是圆上任意一点，点与点关于
原点对称．线段的中垂线分别与交于两点．利用定义法得到轨迹方程。
（2）设直线的方程为,由 ，联立方程组，结合韦达定理得到根与系数的关系，进一步结合向量的数量积为零得到结论。
解：（1）由题意得，圆的半径为，且   … 1分
从而  …………………………… 3分
∴ 点M的轨迹是以为焦点的椭圆,    ………………………………………… 5分
其中长轴,得到,焦距，则短半轴
椭圆方程为:      ………………………………………………………… 6分
（2）设直线的方程为,由 
可得 …………………………………………………………… 8分
则,即    ①      …………………………………9分
设,则
由可得,即  …………………10分
整理可得     
化简可得,满足①式，故直线的方程为：  …………………12分