Question

1．如果函数y=f（x）的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f=f（x+a）=f（-x）成立，则称此函数具有“P（a）性质”；
（1）判断函数y=sinx是否具有“P（a）性质”，若具有“P（a）性质”，试写出所有a的值；若不具有“P（a）性质”，请说明理由；
（2）已知y=f（x）具有“P（0）性质”，当x≤0时，f（x）=（x+t）²，t∈R，求y=f（x）在[0，1]上的最大值；
（3）设函数y=g（x）具有“P（±1）性质”，且当-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$时，g（x）=|x|，求：当x∈R时，函数g（x）的解析式，若y=g（x）与y=mx（m∈R）交点个数为1001个，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据题意先检验sin（x+a）=sin（-x）是否成立即可检验y=sinx是否具有“P（a）性质”
（2）由y=f（x）具有“P（0）性质可得f（x）=f（-x），结合x≤0时的函数解析式可求x≥0的函数解析式，结合t的范围判断函数y=f（x）在[0，1]上的单调性即可求解函数的最值
（3）由题意可得g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），据此递推关系可推断函数y=g（x）的周期，根据交点周期性出现的规律即可求解满足条件的m，以及g（x）的解析式

解答 解：（1）由sin（x+a）=sin（-x）得sin（x+a）=-sinx，
根据诱导公式得a=2kπ+π（k∈Z）．
∴y=sinx具有“P（a）性质”，其中a=2kπ+π（k∈Z）．
（2）∵y=f（x）具有“P（0）性质”，
∴f（x）=f（-x）．
设x≥0，则-x≤0，∴f（x）=f（-x）=（-x+t）²=（x-t）²
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（x+t）^{2}，x≤0}\\{（x-t）^{2}，x≥0}\end{array}\right.$
当t≤0时，∵y=f（x）在[0，1]递增，
∴x=1时y_max=（1-t）²，
当0＜t＜$\frac{1}{2}$时，y=f（x）在[0，t]上递减，在[t，1]上递增，且f（0）=t²＜f（1）=（1-t）²，
∴x=1时y_max=（1-t）²，
当t≥$\frac{1}{2}$时，
∵y=f（x）在[0，m]上递减，在[m，1]上递增，且f（0）=m²≥f（1）=（1-m）²，
∴x=0时，y_max=t²，
综上所述：当t＜$\frac{1}{2}$时，y_max=f（1）=（1-t）²，
当t≥$\frac{1}{2}$y_max=f（0）=t²，
（3）∵y=g（x）具有“P（±1）性质”，
∴g（1+x）=g（-x），g（-1+x）=g（-x），
∴g（x+2）=g（1+1+x）=g（-1-x）=g（x），从而得到y=g（x）是以2为周期的函数．
又$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$设，则-$\frac{1}{2}$≤x-1≤$\frac{1}{2}$，
g（x）=g（x-2）=g（-1+x-1）=g（-x+1）=|-x+1|=|x-1|=g（x-1）．
再设n-$\frac{1}{2}$≤x≤n+$\frac{1}{2}$（n∈z），
当n=2k（k∈z），则2k-$\frac{1}{2}$≤x≤2k+$\frac{1}{2}$，则-$\frac{1}{2}$≤x-2k≤$\frac{1}{2}$，
g（x）=g（x-2k）=|x-2k|=|x-n|；
当n=2k+1（k∈z），则2k+1-$\frac{1}{2}$≤x≤2k+1+$\frac{1}{2}$，则$\frac{1}{2}$≤x-2k≤$\frac{3}{2}$
g（x）=g（x-2k）=|x-2k-1|=|x-n|；
∴g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x+n，n-\frac{1}{2}≤x≤n}\\{x-n，n＜x＜n+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$
∴对于n-$\frac{1}{2}$≤x≤n+$\frac{1}{2}$，（n∈z），都有g（x）=|x-n|，而n+1-$\frac{1}{2}$＜x+1＜n+1+$\frac{1}{2}$，
∴g（x+1）=|（x+1）-（n+1）|=|x-n|=g（x），
∴y=g（x）是周期为1的函数．
①当m＞0时，要使y=mx与y=g（x）有1001个交点，只要y=mx与y=g（x）在[0，500）有1000个交点，而在[500，501]有一个交点．
∴y=mx过（$\frac{1001}{2}$，$\frac{1}{2}$），从而得m=$\frac{1}{1001}$
②当m＜0时，同理可得m=-$\frac{1}{1001}$
③当m=0时，不合题意．
综上所述m=±$\frac{1}{1001}$

点评 本题考查周期函数，着重考查函数在一定条件下的恒成立问题与最值求解的相互转化，综合考察构造函数、分析转化、分类讨论的数学思想与方法，难度大，思维深刻，属于难题