Question

【题目】已知函数 （p，q为常数）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且 ．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断并用定义证明f（x）在（﹣1，1）上的单调性；
（3）解关于x的不等式f（2x﹣1）+f（x）＜0．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意， ，解得p=1，q=0，所以 ．
（2）解：函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，证明如下：

任取﹣1＜x1＜x2＜1，则x1﹣x2＜0，﹣1＜x1x2＜1，

从而f（x1）﹣f（x2）= ﹣ = = ＜0，

所以f（x1）＜f（x2），

所以函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．

（3）解：原不等式可化为：f（2x﹣1）＜﹣f（x），即f（2x﹣1）＜f（﹣x），

由（2）可得，函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增，所以 ，

解得 ，即原不等式解集为

【解析】（1）依题意， ，解得p=1，q=0，可得函数的解析式．（2）利用函数的单调性的定义证明函数f（x）在（﹣1，1）上单调递增．（3）原不等式可化为f（2x﹣1）＜f（﹣x），根据函数f（x）在定义域（﹣1，1）上单调递增，可得 ，由此求得x的范围．
【考点精析】关于本题考查的函数单调性的判断方法和函数单调性的性质，需要了解单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较；函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集才能得出正确答案．