Question

请您设计一个帐篷．它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时，帐篷的体积最大？

Answer 1

分析：设出顶点O到底面中心o₁的距离，再求底面边长和底面面积，求出体积表达式，利用导数求出高为何时体积取得最大值．

解答：解：设OO₁为xm，
则由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）

32-(x-1)2

=

8+2x-x2

于是底面正六边形的面积为（单位：m²）

32-(x-1)2

=6•

3

4

•(

8+2x-x2

)2=

3 3

2

(8+2x-x2)
帐篷的体积为（单位：m³）V(x)=

3 3

2

(8+2x-x2)[

1

3

(x-1)+1]=

3

2

(16+12x-x3)
求导数，得V′(x)=

3

2

(12-3x2)
令V'（x）=0解得x=-2（不合题意，舍去），x=2．
当1＜x＜2时，V'（x）＞0，V（x）为增函数；
当2＜x＜4时，V'（x）＜0，V（x）为减函数．
所以当x=2时，V（x）最大．
答当OO₁为2m时，帐篷的体积最大．

点评：本小题主要考查利用导数研究函数的最大值和最小值的基础知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力．